考研数学:线代知识点之特征值和特征向量

2019-11-26 白鹿 荣泽成考网
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  一、矩阵的特征值与特征向量问题

  1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题

  这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量,常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。

  若给定的矩阵是数值型的矩阵,则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值,然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。

  若给定的矩阵是抽象型的,则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义,但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。

  2.矩阵(方阵)的相似对角化问题

  这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件,会判断给定的矩阵是否可以相似对角化,另外还要会求矩阵相似对角化的计算问题,会求可逆阵以及对角阵。尤其需要掌握的是通过相似的结论,反推一些参数,比如相似可以得到:秩、行列式、特征值、迹等相等,解题中往往是通过这些量先得到一些参数。

  事实上,矩阵相似对角化之后还有一些应用,主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上,这些应用在历年真题中都有不同的体现。

  3.实对称矩阵的正交相似对角化问题

  其实质还是矩阵的相似对角化问题,与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外,还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,在考试的时候会经常用到这些考点的。

  这块的知识出题比较灵活,可直接出题,即给定一个实对称矩阵A,让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A。

  另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的,这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量,从而确定出矩阵A.最重要的是,掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

  二、二次型

  1.二次型的标准化问题

  二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连,因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。化二次型为标准形有两种方法:一是正交变换法;二是配方法。

  从历年考题来看,利用正交变化法化二次型为标准形是考研线性代数考查的重要方向,但是其实质就是实对称矩阵的正交相似对角化问题。

  也就是说实二次型的标准化问题与实对称矩阵的正交相似对角化问题是同一问题的两种不同的提法,并且这两种不同的提法在历年考研真题的大题中是交替出现的,因此掌握了实对称矩阵的正交相似对角化那么实二次型的标准化问题也就迎刃而解了。

  另外,在没有其他要求的情况下,利用配方法得到标准形可能更方便一些。本章节的内容除了会以大题的形式出现外,二次型的矩阵表示、二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空题、选择题中不可或缺的一部分。

  2.二次型的正定性判断

  此处的考点主要出现在填空题或者选择题中,一般考查的有两种形式的二次型:一是具体的数值型二次型;二是抽象的二次型。

  对于具体的数值型二次型来说,一般可通过判断其顺序主子式是否全部大于零来判别二次型是否为正定二次型。

  而抽象的二次型的正定性判断可以通过利用其标准形、规范形中的系数是否都大于0,或者特征值是否都大于0等得到证明,当然二次型的正定性判断问题的顺利解决是建立在熟悉二次型正定有关的充分条件和必要条件的基础之上的

  通过上面的大致梳理,同学们应该基本上了解了这两个章节的出题思路,在复习过程中要有针对性的复习,不要钻牛角尖,比如去证明一下为什么相似可以得到迹相等,为什么合同的充要条件是顺序主子式大于零等,这就属于本末倒置拉。
 
       附:矩阵的特征值与特征向量有关公式



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